martedì 25 gennaio 2011

Il criterio di divisibilità per 7: il mistero di un'inspiegabile sparizione

Il mondo matematico è da anni terribilmente in ansia per il caso di una misteriosa ed inspiegabile scomparsa. E' un caso che anche "Chi l'ha visto?" potrebbe trattare, perché lascia veramente esterrefatti e con il patema d'animo che quella sparizione stia a significare una morte avvenuta con inesorabile gradualità nell'indifferenza comune. Fino ad ora tutti i libri di testo di matematica sono stati setacciati a fondo, ma nessuna traccia di esso; tanti insegnanti di matematica sono stati interpellati, ma i pochi che lo conoscono l'hanno definito un soggetto difficile da tenere a bada. E' giunto il momento di sguinzagliare i cani aritmetici per ritrovare il protagonista di questa sparizione e cercare di ridargli dignità ed orgoglio affinché non abbandoni di nuovo il mondo che gli ha dato la vita. Di chi, o meglio cosa, stiamo parlando?
Il "siparietto" introduttivo di questo post ha come protagonista il criterio di divisibilità per il numero naturale 7. Sin da quando ho studiato a scuola, fino ad arrivare alla conclusione dei miei studi (SSIS inclusa), non ho mai trovato scritta in un libro di testo la regola per capire se un numero sia o meno divisibile per 7, nè colleghi studenti o insegnanti hanno mai saputo spiegarmela.
Così ad un certo punto ho deciso di cercarla in Internet e l'ho trovata! In pratica il criterio prevede che, se la differenza tra l'intero numero, letto senza la cifra delle unità, e il doppio dell'unità stessa, è un multiplo di 7, allora il numero è divisibile per 7. Troppo complicato? Naaa, è solo impressione. ^__^
Facciamo qualche esempio, considerando due numeri come 147 e 91.
1) Prendiamo in considerazione 147 privato della sola cifra delle unità: 14. 
2) A 14 sottraiamo il doppio delle unità, ossia 2 * 7 = 14, ed avremo:
14 - 14 = 0. 
3) 0 è un multiplo di 7, allora 147 è divisibile per 7.
Ripetiamo il procedimento anche con 91:
1) 91 privato dell'unità è 9. 
2) Ad esso sottraiamo il doppio dell'unità, ossia 1 * 2 = 2, ed avremo: 9 - 2 = 7. 
3) 7 è un multiplo di 7, allora 91 è divisibile per 7.
Molte persone affermano che il criterio di divisibilità per 7 sia poco diffuso sui libri di testo perché meno utilizzato rispetto ad altri e, pertanto, non prioritario da apprendere. Il discorso può avere una sua logica, perché d'altronde lo stesso ragionamento si potrebbe fare per il criterio di divisibilità per 13, che sicuramente conosceranno ancora meno persone, e così via andando avanti. Qualcun altro afferma che esso è poco pratico da insegnare perché è elaborato il procedimento da svolgere, ma io in effetti dopo averlo sperimentato a scuola da alcuni anni, trovo che per gli alunni sia molto più difficile ricordare il criterio di divisibilità per 11, che invece è presente in tutti i libri in bella mostra!
Credo sia importante anche un'altra considerazione: un libro di testo non può assolutamente riportare il criterio di divisibilità per 4, per 6, per 8, per 9, per 10, per 25 e 100, saltando spudoratamente quello del 7! Se ad esempio ci si trova davanti ad un multiplo di 25 in una frazione da ridurre ai minimi termini, si arriverà comunque a semplificare la frazione, dividendo due volte per 5 anziché una sola per 25, per cui io potrei anche fare a meno di sapere il criterio di divisibilità per 25.
Come si fa però quando si hanno davanti numeri come 91? Chiedete ad un qualsiasi alunno di scuola media (o anche superiore) se 91 sia numero primo. Vi risponderà senza dubbio di sì, perché "tanto non è divisibile per 2, né per 3, né per 5, né per 11... Allora è primo!".
Credo che molti libri di testo guadagnerebbero in qualità se eliminassero il superfluo privilegiando la coerenza.
E chissà che, con essi, non migliori anche la qualità dell'insegnamento di alcuni concetti ^__^.

9 commenti:

  1. Mi sembra addirittura di ricordare che una volta, tanto tempo fa, avevo letto che un simile criterio non esisteva.
    E com'è il criterio per 13?
    Grandi siete...

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  2. Innanzitutto grazie per l'apprezzamento :)
    Il criterio di divisibilità di un numero naturale per 13 prevede che la somma tra il numero privato dell'unità e il quadruplo della cifra delle unità sia un multiplo di 13 ^__^
    Esempio: 26
    Tolto l'unità e la quadruplico: 4*6 = 24. Addiziono a 24 il numero di partenza (26) scritto senza l'unità, cioè 2, ed ottengo 24 + 2 = 26, che è multiplo di 13.

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  3. Grazie Chris, non conoscevo ne quello del 7 ne quello del 13; come dici tu, è difficile che siano presenti sui testi scolastici.
    Un salutone
    Marco

    PS:
    Ho risposto al tuo commento su Ramanujan. Grazie

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  4. E per 17? E per 19? E per 23?
    Ma uno non fa prima a impararsi le equazioni congruenziali (o al limite il solo Zp)?

    Voglio dire, se il numero è 769231, ti ci voglio a fare la differenza...

    10^n mod 7 = { 1 se n = 0, 3 se n = 1, 2 se n=2, -1 se n=3, -3 se n=4, -2 se n=5, .. e poi si ripetono}

    Quindi 769230 è divisibile per 7 se e solo se lo è 0 + 3*3 + 2*2 -9 - 3*6 - 7*2 = 9 + 4 - 9 - 18 - 14 = 2 + 4 - 2 - 4 = 0. 0 è divisibile per 7, quindi lo è 769230.

    E il vantaggio è che funziona per qualunque primo (e non!)..
    Sarà per questo che non c'è scritto da nessuna parte?

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  5. Ciao Alessandro!
    L'osservazione che fai è ovviamente sensata dal punto di vista matematico, ma spesso sfugge che la matematica non coincide con la sua didattica.
    Non sarebbe neanche lontanamente pensabile l'idea di parlare di equazioni congruenziali ad alunni di prima media, ma non perché non siano in grado di coglierne il concetto, perché qualsiasi concetto, se spiegato in maniera opportuna, può essere compreso a qualsiasi livello. Sarebbe però una strada troppo tortuosa e gli studenti di quella fascia di età dovrebbero tenere sotto controllo tanti elementi di cui ancora non hanno consolidato una padronanza, con il risultato che per cercare di afferrare il concetto più generale finirebbero per non saperlo applicare ad alcun caso particolare.
    A volte la didattica, in particolare quella della matematica, presuppone delle strade alternative, che possano andare incontro alle esigenze di un gruppo classe intero (e non solo di quei 2-3 più bravi), e fintantoché sono corrette e riscuotono successo, anche se non sono le più onnicomprensive, ne è lecito l'impiego ;)

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  6. Non lo mettono più perché oggettivamente è troppo complicato per ragazzi di prima media che oggi lo imparano (a memoria) e domani lo hanno già dimenticato. Non ci sono altre spiegazioni. L'ultimo testo che spiegava il criterio di divisibilità per 7 l'ho visto più di 20 anni.

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  7. Ma se è troppo complicato, allora non capisco perché debba esserci invece quello per 11, che è simile, se non più laborioso e meccanico uguale :).
    Non mettere il criterio di divisibilità per 7 in un libro di testo secondo me crea l'idea che esso non esista, perché viene "saltato". Sarà pur vero che dopo si dimenticherà (come si dimenticherà quello per 11), ma l'obiettivo della matematica è di aprire la mente. Lo stimolo, quantomeno, va dato.
    E' ovviamente una mia personale idea da prof ;)

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  8. E' vero quello che dici, ma il criterio di divisibilità per 7 così come quello per 11 viene imposto senza una dimostrazione del perché si fa così. Giusto anche lo stimolo, che però deve essere indirizzato verso un apprendimento significativo e non mnemonico della matematica. Se avete notato, in questi ultimi anni alcuni libri di testo tentano una dimostrazione anche nelle frazioni generatrici dei numeri periodici. E qualche autore è riuscito efficacemente anche senza l'uso delle equazioni.

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  9. Mmmm... però neanche per gli altri criteri viene mai fornita una vera e propria dimostrazione del perché si fanno in un certo modo. Su qualsiasi libro si trova scritto ad esempio che il criterio di divisibilità per 3 si applica sommando le cifre del numero ecc., ma non viene certo fornita una dimostrazione del perché il criterio sia così! E probabilmente sarebbe anche sterile, in questo caso, perché i criteri di divisibilità, se è vero che devono facilitare l'individuazione dei divisori primi, devono essere presi un po' alla stregua di "trucchetti" che evitino la divisione. Anche il criterio di divisibilità per 3, per come viene appreso, è mnemonico, il che non necessariamente dev'essere inteso in un'accezione negativa, ma è solo più diffuso perché ovviamente lo si incontra più di frequente.
    Allora tanto vale farsene una ragione, ma saltare quello del 7 privilegiando quello per 11 non mi sembra sensato...

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