domenica 3 luglio 2011

Problema svolto sul punto medio di un segmento: determinare le coordinate del quarto vertice di un parallelogramma noti gli altri 3

Risolviamo il seguente problema:
I punti A(3;6), B(-3;3) e C(-2;2) sono vertici consecutivi del parallelogramma ABCD. Determina le coordinate del quarto vertice D.
Cominciamo a rappresentare graficamente i 3 punti dati dal problema. 
Per ottenere le coordinate del quarto vertice D sarà sufficiente ricordare che in un parallelogramma le diagonali si dimezzano scambievolmente, ossia ciascuna di esse interseca l'altra nel suo punto medio. Ciò significa che, una volta determinate le coordinate del punto medio M della diagonale AC (per sapere come ricavare le formule, vai al link), queste saranno le stesse per l'altra diagonale BD. Di conseguenza, avendo le coordinate del punto B e di M, potremo calcolare facilmente con una formula inversa quelle di D.
Troviamo prima le coordinate di M tramite i punti A e C.

Conoscendo le coordinate di B e del punto medio M(1/2;4), possiamo ottenere facilmente le coordinate di D con la formula inversa dell'equazione del punto medi appena utilizzata:
Abbiamo così individuato il punto D(4;5).