giovedì 19 dicembre 2013

Problema svolto sull'area di un quadrato isoperimetrico ad un triangolo

Risolviamo il seguente problema:

L'area di un triangolo rettangolo è 384 cm^2 e i cateti sono uno i 3/4 dell'altro. Sapendo che l'altezza relativa all'ipotenusa misura 19.2 cm, calcola l'area di un quadrato isoperimetrico al triangolo.

Come di consueto, procediamo a ritroso partendo da quello che il problema chiede, cioè arrivare a determinare l'area di un quadrato, che si può calcolare facilmente con la formula 
Ci servirà quindi la misura del lato del quadrato, che a sua volta è isoperimetrico ad un triangolo, cioè ha lo stesso perimetro di un triangolo. Dovremo procedere determinando prima il perimetro del triangolo, di cui conosciamo il rapporto tra i cateti, l'area e l'altezza relativa all'ipotenusa.
In un triangolo, se consideriamo come base un lato - nel nostro caso l'ipotenusa - e ne conosciamo l'altezza ad esso relativa e l'area, possiamo facilmente risalire alla misura della base, cioè l'ipotenusa, con la formula inversa
Quindi
Per conoscere le misure dei 2 cateti, invece, possiamo osservare che, raddoppiando la superficie del triangolo, costruiamo un rettangolo la cui superficie sarà formata da 3 * 4 = 12 quadrati congruenti.
Quindi se raddoppiamo l'area del triangolo e poi la dividiamo per 12, possiamo avere l'area di un singolo quadratino, da cui estraendo la radice quadrata possiamo risalire al lato del quadrato e, di conseguenza alla misura dei 2 cateti. Indichiamo con l la misura del lato di un quadratino, con Ar l'area del rettangolo e Aq l'area di un quadratino.

I cateti AC ed AB quindi conterranno rispettivamente 3 volte e 4 volte la lunghezza del lato del quadratino, quindi misureranno:
Calcoliamo ora il perimetro del triangolo (2pt), necessario perché uguale al perimetro del quadrato (2pq):
Conoscendo il perimetro del quadrato, possiamo dividerlo per 4 e ottenere così la misura del lato l del quadrato:
E l'area del quadrato Aq sarà:

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