venerdì 26 maggio 2017

Problema svolto: calcolare la lunghezza dei raggi di 2 cerchi concentrici noto il rapporto tra le circonferenze

Risolviamo il seguente problema (senza impostazione di un'equazione di 2° grado):


La differenza tra le aree di 2 cerchi concentrici è 36 π cm2 e il rapporto tra le lunghezze delle rispettive circonferenze è 5/4. Calcola le lunghezze dei due raggi.

Possiamo risolvere questo problema sfruttando la proprietà dello scomporre delle proporzioni, avendo a disposizione la differenza tra le aree e potendone ricavare il rapporto.


Chiamiamo C1 e C2 le 2 circonferenze, rispettivamente di raggio R e r, e facciamo subito una considerazione: siccome il rapporto tra le circonferenze è 5/4, allora

Di conseguenza, facendo qualche semplificazione, anche il rapporto tra i raggi è 5/4:
Siccome l'area del cerchio è espressa come prodotto tra il quadrato del raggio e pi greco, allora il rapporto tra le aree dei 2 cerchi sarà dato dal quadrato del rapporto tra i raggi. Quindi (tralasciando π per semplicità):
Possiamo applicare a questa proporzione la proprietà dello scomporre, ricordando dal testo del problema che
Conoscendo l'area del cerchio minore, possiamo ricavarne il raggio con la nota formula generale:
Risolviamo la proporzione rispetto a R per conoscere il raggio del cerchio maggiore:

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